求解 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-2x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-2 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

将 8 加上 4。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

取 12 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

-2 的相反数是 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} 的解。 将 2\sqrt{3} 加上 2。

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

2+2\sqrt{3} 除以 4。

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} 的解。 将 2 减去 2\sqrt{3}。

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

2-2\sqrt{3} 除以 4。

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-2x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$2x^{2}-2x=1$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

-2 除以 2。

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 \frac{1}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

因数 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$