求解 2x^2-10x=3

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 3$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{31} + 5}{2} \approx 5.283882181$$

$$x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}\approx -0.283882181$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-10x=3$$

将等式的两边同时减去 3。

$$2x^{2}-10x-3=3-3$$

3 减去它自己得 0。

$$2x^{2}-10x-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-10 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

对 -10 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+24}}{2\times 2}$$

将 24 加上 100。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{124}}{2\times 2}$$

取 124 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{31}}{2\times 2}$$

-10 的相反数是 10。

$$x=\frac{10±2\sqrt{31}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{10±2\sqrt{31}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{10±2\sqrt{31}}{4} 的解。 将 2\sqrt{31} 加上 10。

$$x=\frac{2\sqrt{31}+10}{4}$$

10+2\sqrt{31} 除以 4。

$$x=\frac{\sqrt{31}+5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{10±2\sqrt{31}}{4} 的解。 将 10 减去 2\sqrt{31}。

$$x=\frac{10-2\sqrt{31}}{4}$$

10-2\sqrt{31} 除以 4。

$$x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{31}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-10x=3$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-10x}{2}=\frac{3}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{2}\right)x=\frac{3}{2}$$

-10 除以 2。

$$x^{2}-5x=\frac{3}{2}$$

将 x 项的系数 -5 除以 2 得 -\frac{5}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{3}{2}+\frac{25}{4}$$

将 \frac{25}{4} 加上 \frac{3}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{31}{4}$$

因数 x^{2}-5x+\frac{25}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{31}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}$$