求解 2x^2=x+5

$$2 x ^ { 2 } = x + 5$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{41} + 1}{4} \approx 1.850781059$$

$$x=\frac{1-\sqrt{41}}{4}\approx -1.350781059$$

运用二次公式的步骤

将方程式两边同时减去 x。

$$2x^{2}-x=5$$

将方程式两边同时减去 5。

$$2x^{2}-x-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-1 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

将 40 加上 1。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

-1 的相反数是 1。

$$x=\frac{1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{1±\sqrt{41}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{1±\sqrt{41}}{4} 的解。 将 \sqrt{41} 加上 1。

$$x=\frac{\sqrt{41}+1}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{1±\sqrt{41}}{4} 的解。 将 1 减去 \sqrt{41}。

$$x=\frac{1-\sqrt{41}}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{41}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{41}}{4}$$

使用配方法的步骤

将方程式两边同时减去 x。

$$2x^{2}-x=5$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{5}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{2} 除以 2 得 -\frac{1}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

将 \frac{1}{16} 加上 \frac{5}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

对 x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{41}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{41}}{4}$$