求解 2x^2+9x-1=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}\approx 0.108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}\approx -4.608495283$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+9x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，9 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

对 9 进行平方运算。

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+8}}{2\times 2}$$

将 8 加上 81。

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} 的解。 将 \sqrt{89} 加上 -9。

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} 的解。 将 -9 减去 \sqrt{89}。

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+9x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$2x^{2}+9x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+9x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$2x^{2}+9x=1$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=\frac{1}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{1}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{9}{2} 除以 2 得 \frac{9}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{9}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{9}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{2}+\frac{81}{16}$$

将 \frac{81}{16} 加上 \frac{1}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{89}{16}$$

对 x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{9}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$