求解 2x^2+8x+9=0

$$2 x ^ { 2 } + 8 x + 9 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2+0.707106781i$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2-0.707106781i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+8x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，8 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

对 8 进行平方运算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8\times 9}}{2\times 2}$$

求 -8 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-72}}{2\times 2}$$

将 -72 加上 64。

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8}}{2\times 2}$$

取 -8 的平方根。

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4} 的解。 将 2i\sqrt{2} 加上 -8。

$$x=\frac{-8+2\sqrt{2}i}{4}$$

-8+2i\sqrt{2} 除以 4。

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4} 的解。 将 -8 减去 2i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-8}{4}$$

-8-2i\sqrt{2} 除以 4。

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+8x+9=0$$

将等式的两边同时减去 9。

$$2x^{2}+8x+9-9=-9$$

9 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+8x=-9$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+8x}{2}=-\frac{9}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{8}{2}x=-\frac{9}{2}$$

8 除以 2。

$$x^{2}+4x=-\frac{9}{2}$$

将 x 项的系数 4 除以 2 得 2。然后在等式两边同时加上 2 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{9}{2}+2^{2}$$

对 2 进行平方运算。

$$x^{2}+4x+4=-\frac{9}{2}+4$$

将 4 加上 -\frac{9}{2}。

$$x^{2}+4x+4=-\frac{1}{2}$$

对 x^{2}+4x+4 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+2\right)^{2}=-\frac{1}{2}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{2}}$$

化简。

$$x+2=\frac{\sqrt{2}i}{2} x+2=-\frac{\sqrt{2}i}{2}$$

将等式的两边同时减去 2。

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$