求解 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 2x^{2}+ax+bx-4。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -8 的所有此类整数对。

$$-1,8 -2,4$$

计算每对之和。

$$-1+8=7 -2+4=2$$

该解答是总和为 7 的对。

$$a=-1 b=8$$

将 2x^{2}+7x-4 改写为 \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)。

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 4 中。

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-1。

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

若要找到方程解，请解 2x-1=0 和 x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+7x-4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，7 替换 b，并用 -4 替换 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

对 7 进行平方运算。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

将 32 加上 49。

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

取 81 的平方根。

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-7±9}{4} 的解。 将 9 加上 -7。

$$x=\frac{2}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{2}{4} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-7±9}{4} 的解。 将 -7 减去 9。

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 除以 4。

$$x=-4$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+7x-4=0$$

在等式两边同时加 4。

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

将 0 减去 -4。

$$2x^{2}+7x=4$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

4 除以 2。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

将 x 项的系数 \frac{7}{2} 除以 2 得 \frac{7}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{7}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{7}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

将 \frac{49}{16} 加上 2。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{7}{4}。

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$