求解 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-1$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 2x^{2}+ax+bx+5。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 由于 a+b 是正数, a 并且 b 都是正数。 列出提供产品 10 的所有此类整数对。

$$1,10 2,5$$

计算每对之和。

$$1+10=11 2+5=7$$

该解答是总和为 7 的对。

$$a=2 b=5$$

将 2x^{2}+7x+5 改写为 \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)。

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x+1。

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 x+1=0 和 2x+5=0。

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+7x+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，7 替换 b，并用 5 替换 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

对 7 进行平方运算。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

求 -8 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

将 -40 加上 49。

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

取 9 的平方根。

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-7±3}{4} 的解。 将 3 加上 -7。

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 除以 4。

$$x=-1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-7±3}{4} 的解。 将 -7 减去 3。

$$x=-\frac{10}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-10}{4} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+7x+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+7x=-5$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{7}{2} 除以 2 得 \frac{7}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{7}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{7}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

将 \frac{49}{16} 加上 -\frac{5}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

对 x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{7}{4}。

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$