求解 2x^2+5x+4=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 4 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-5+\sqrt{7}i}{4}\approx -1.25+0.661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-5}{4}\approx -1.25-0.661437828i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+5x+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，5 替换 b，并用 4 替换 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 4}}{2\times 2}$$

求 -8 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-32}}{2\times 2}$$

将 -32 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

取 -7 的平方根。

$$x=\frac{-5±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{7}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{7}i}{4} 的解。 将 i\sqrt{7} 加上 -5。

$$x=\frac{-5+\sqrt{7}i}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{7}i}{4} 的解。 将 -5 减去 i\sqrt{7}。

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-5}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-5}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+5x+4=0$$

将等式的两边同时减去 4。

$$2x^{2}+5x+4-4=-4$$

4 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+5x=-4$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=-\frac{4}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=-\frac{4}{2}$$

-4 除以 2。

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=-2$$

将 x 项的系数 \frac{5}{2} 除以 2 得 \frac{5}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-2+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-2+\frac{25}{16}$$

将 \frac{25}{16} 加上 -2。

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{7}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{4}。

$$x=\frac{-5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-5}{4}$$