求解 2x^2+4x+11=0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x + 11 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1\approx -1+2.121320344i$$

$$x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1\approx -1-2.121320344i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+4x+11=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，4 替换 b，并用 11 替换 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

对 4 进行平方运算。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\times 11}}{2\times 2}$$

求 -8 与 11 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-88}}{2\times 2}$$

将 -88 加上 16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{-72}}{2\times 2}$$

取 -72 的平方根。

$$x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4} 的解。 将 6i\sqrt{2} 加上 -4。

$$x=\frac{-4+6\sqrt{2}i}{4}$$

-4+6i\sqrt{2} 除以 4。

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4} 的解。 将 -4 减去 6i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i-4}{4}$$

-4-6i\sqrt{2} 除以 4。

$$x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+4x+11=0$$

将等式的两边同时减去 11。

$$2x^{2}+4x+11-11=-11$$

11 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+4x=-11$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=-\frac{11}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=-\frac{11}{2}$$

4 除以 2。

$$x^{2}+2x=-\frac{11}{2}$$

将 x 项的系数 2 除以 2 得 1。然后在等式两边同时加上 1 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+2x+1^{2}=-\frac{11}{2}+1^{2}$$

对 1 进行平方运算。

$$x^{2}+2x+1=-\frac{11}{2}+1$$

将 1 加上 -\frac{11}{2}。

$$x^{2}+2x+1=-\frac{9}{2}$$

因数 x^{2}+2x+1。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+1\right)^{2}=-\frac{9}{2}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{2}}$$

化简。

$$x+1=\frac{3\sqrt{2}i}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}$$

将等式的两边同时减去 1。

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$