求解 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 2x^{2}+ax+bx-20。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -40 的所有此类整数对。

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

计算每对之和。

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

该解答是总和为 3 的对。

$$a=-5 b=8$$

将 2x^{2}+3x-20 改写为 \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)。

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 4 中。

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-5。

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 2x-5=0 和 x+4=0。

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+3x-20=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，3 替换 b，并用 -20 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -20 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

将 160 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

取 169 的平方根。

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±13}{4} 的解。 将 13 加上 -3。

$$x=\frac{10}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{10}{4} 降低为最简分数。

$$x=\frac{5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±13}{4} 的解。 将 -3 减去 13。

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 除以 4。

$$x=-4$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+3x-20=0$$

在等式两边同时加 20。

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

将 0 减去 -20。

$$2x^{2}+3x=20$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

20 除以 2。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

将 x 项的系数 \frac{3}{2} 除以 2 得 \frac{3}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

将 \frac{9}{16} 加上 10。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

对 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{4}。

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$