求解 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0.5+0.5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0.5-0.5i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+2x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，2 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

对 2 进行平方运算。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

将 -8 加上 4。

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

取 -4 的平方根。

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-2±2i}{4} 的解。 将 2i 加上 -2。

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

-2+2i 除以 4。

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-2±2i}{4} 的解。 将 -2 减去 2i。

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

-2-2i 除以 4。

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+2x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+2x=-1$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

2 除以 2。

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -\frac{1}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

对 x^{2}+x+\frac{1}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$