求解 2x^2+15x+34=0

$$2 x ^ { 2 } + 15 x + 34 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-15+\sqrt{47}i}{4}\approx -3.75+1.71391365i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-15}{4}\approx -3.75-1.71391365i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+15x+34=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，15 替换 b，并用 34 替换 c。

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 2\times 34}}{2\times 2}$$

对 15 进行平方运算。

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 2\times 34}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-8\times 34}}{2\times 2}$$

求 -8 与 34 的乘积。

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-272}}{2\times 2}$$

将 -272 加上 225。

$$x=\frac{-15±\sqrt{-47}}{2\times 2}$$

取 -47 的平方根。

$$x=\frac{-15±\sqrt{47}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-15±\sqrt{47}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-15±\sqrt{47}i}{4} 的解。 将 i\sqrt{47} 加上 -15。

$$x=\frac{-15+\sqrt{47}i}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-15±\sqrt{47}i}{4} 的解。 将 -15 减去 i\sqrt{47}。

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-15}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-15+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-15}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+15x+34=0$$

将等式的两边同时减去 34。

$$2x^{2}+15x+34-34=-34$$

34 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+15x=-34$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+15x}{2}=-\frac{34}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x=-\frac{34}{2}$$

-34 除以 2。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x=-17$$

将 x 项的系数 \frac{15}{2} 除以 2 得 \frac{15}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{15}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\left(\frac{15}{4}\right)^{2}=-17+\left(\frac{15}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{15}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-17+\frac{225}{16}$$

将 \frac{225}{16} 加上 -17。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-\frac{47}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{15}{4}\right)^{2}=-\frac{47}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{47}i}{4} x+\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{47}i}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{15}{4}。

$$x=\frac{-15+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-15}{4}$$