求解 2t^2-7t-7=0

$$2 t ^ { 2 } - 7 t - 7 = 0$$

求解 t 的值

$$t = \frac{\sqrt{105} + 7}{4} \approx 4.311737691$$

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}\approx -0.811737691$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2t^{2}-7t-7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-7 替换 b，并用 -7 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

对 -7 进行平方运算。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -7 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+56}}{2\times 2}$$

将 56 加上 49。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

-7 的相反数是 7。

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{7±\sqrt{105}}{4} 的解。 将 \sqrt{105} 加上 7。

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{7±\sqrt{105}}{4} 的解。 将 7 减去 \sqrt{105}。

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2t^{2}-7t-7=0$$

在等式两边同时加 7。

$$2t^{2}-7t-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 减去它自己得 0。

$$2t^{2}-7t=-\left(-7\right)$$

将 0 减去 -7。

$$2t^{2}-7t=7$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2t^{2}-7t}{2}=\frac{7}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$t^{2}-\frac{7}{2}t=\frac{7}{2}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{2} 除以 2 得 -\frac{7}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{7}{2}+\frac{49}{16}$$

将 \frac{49}{16} 加上 \frac{7}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{105}{16}$$

因数 t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

化简。

$$t-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} t-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{4}。

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$