求解 2x^2-90x-3600=0

$$2 { x }^{ 2 } -90x-3600=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{15 \sqrt{41} + 45}{2} \approx 70.523431781$$

$$x=\frac{45-15\sqrt{41}}{2}\approx -25.523431781$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-90x-3600=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-90 替换 b，并用 -3600 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 2\left(-3600\right)}}{2\times 2}$$

对 -90 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 2\left(-3600\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8\left(-3600\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -3600 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100+28800}}{2\times 2}$$

将 28800 加上 8100。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{36900}}{2\times 2}$$

取 36900 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±30\sqrt{41}}{2\times 2}$$

-90 的相反数是 90。

$$x=\frac{90±30\sqrt{41}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{90±30\sqrt{41}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{90±30\sqrt{41}}{4} 的解。 将 30\sqrt{41} 加上 90。

$$x=\frac{30\sqrt{41}+90}{4}$$

90+30\sqrt{41} 除以 4。

$$x=\frac{15\sqrt{41}+45}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{90±30\sqrt{41}}{4} 的解。 将 90 减去 30\sqrt{41}。

$$x=\frac{90-30\sqrt{41}}{4}$$

90-30\sqrt{41} 除以 4。

$$x=\frac{45-15\sqrt{41}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{15\sqrt{41}+45}{2} x=\frac{45-15\sqrt{41}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-90x-3600=0$$

在等式两边同时加 3600。

$$2x^{2}-90x-3600-\left(-3600\right)=-\left(-3600\right)$$

-3600 减去它自己得 0。

$$2x^{2}-90x=-\left(-3600\right)$$

将 0 减去 -3600。

$$2x^{2}-90x=3600$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-90x}{2}=\frac{3600}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{2}\right)x=\frac{3600}{2}$$

-90 除以 2。

$$x^{2}-45x=\frac{3600}{2}$$

3600 除以 2。

$$x^{2}-45x=1800$$

将 x 项的系数 -45 除以 2 得 -\frac{45}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{45}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=1800+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{45}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=1800+\frac{2025}{4}$$

将 \frac{2025}{4} 加上 1800。

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{9225}{4}$$

因数 x^{2}-45x+\frac{2025}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{9225}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9225}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{45}{2}=\frac{15\sqrt{41}}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{15\sqrt{41}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{45}{2}。

$$x=\frac{15\sqrt{41}+45}{2} x=\frac{45-15\sqrt{41}}{2}$$