求解 2x^2-4x+7=0

$$2 { x }^{ 2 } -4x+7=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1+1.58113883i$$

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1-1.58113883i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-4x+7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-4 替换 b，并用 7 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\times 7}}{2\times 2}$$

求 -8 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-56}}{2\times 2}$$

将 -56 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-40}}{2\times 2}$$

取 -40 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{10}i}{2\times 2}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{4} 的解。 将 2i\sqrt{10} 加上 4。

$$x=\frac{4+2\sqrt{10}i}{4}$$

4+2i\sqrt{10} 除以 4。

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{4} 的解。 将 4 减去 2i\sqrt{10}。

$$x=\frac{-2\sqrt{10}i+4}{4}$$

4-2i\sqrt{10} 除以 4。

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-4x+7=0$$

将等式的两边同时减去 7。

$$2x^{2}-4x+7-7=-7$$

7 减去它自己得 0。

$$2x^{2}-4x=-7$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=-\frac{7}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=-\frac{7}{2}$$

-4 除以 2。

$$x^{2}-2x=-\frac{7}{2}$$

将 x 项的系数 -2 除以 2 得 -1。然后在等式两边同时加上 -1 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-2x+1=-\frac{7}{2}+1$$

将 1 加上 -\frac{7}{2}。

$$x^{2}-2x+1=-\frac{5}{2}$$

对 x^{2}-2x+1 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-1\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

化简。

$$x-1=\frac{\sqrt{10}i}{2} x-1=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

在等式两边同时加 1。

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$