求解 2x^2-34x+20=0

$$2 { x }^{ 2 } -34x+20=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{249} + 17}{2} \approx 16.389866919$$

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}\approx 0.610133081$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-34x+20=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-34 替换 b，并用 20 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

对 -34 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 20}}{2\times 2}$$

求 -8 与 20 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-160}}{2\times 2}$$

将 -160 加上 1156。

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{996}}{2\times 2}$$

取 996 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-34\right)±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

-34 的相反数是 34。

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4} 的解。 将 2\sqrt{249} 加上 34。

$$x=\frac{2\sqrt{249}+34}{4}$$

34+2\sqrt{249} 除以 4。

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4} 的解。 将 34 减去 2\sqrt{249}。

$$x=\frac{34-2\sqrt{249}}{4}$$

34-2\sqrt{249} 除以 4。

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-34x+20=0$$

将等式的两边同时减去 20。

$$2x^{2}-34x+20-20=-20$$

20 减去它自己得 0。

$$2x^{2}-34x=-20$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{20}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{20}{2}$$

-34 除以 2。

$$x^{2}-17x=-\frac{20}{2}$$

-20 除以 2。

$$x^{2}-17x=-10$$

将 x 项的系数 -17 除以 2 得 -\frac{17}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{17}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{17}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-10+\frac{289}{4}$$

将 \frac{289}{4} 加上 -10。

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{249}{4}$$

对 x^{2}-17x+\frac{289}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{249}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{249}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{17}{2}=\frac{\sqrt{249}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{\sqrt{249}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{17}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$