求解 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9.764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2.764982043$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-14x-54=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-14 替换 b，并用 -54 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

对 -14 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -54 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

将 432 加上 196。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

取 628 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

-14 的相反数是 14。

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} 的解。 将 2\sqrt{157} 加上 14。

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

14+2\sqrt{157} 除以 4。

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} 的解。 将 14 减去 2\sqrt{157}。

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

14-2\sqrt{157} 除以 4。

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-14x-54=0$$

在等式两边同时加 54。

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

-54 减去它自己得 0。

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

将 0 减去 -54。

$$2x^{2}-14x=54$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

-14 除以 2。

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

54 除以 2。

$$x^{2}-7x=27$$

将 x 项的系数 -7 除以 2 得 -\frac{7}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

将 \frac{49}{4} 加上 27。

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

因数 x^{2}-7x+\frac{49}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$