求解 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 2x^{2}+ax+bx-40。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -80 的所有此类整数对。

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

计算每对之和。

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

该解答是总和为 -11 的对。

$$a=-16 b=5$$

将 2x^{2}-11x-40 改写为 \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)。

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-8。

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 x-8=0 和 2x+5=0。

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-11x-40=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-11 替换 b，并用 -40 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

对 -11 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -40 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

将 320 加上 121。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

取 441 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11 的相反数是 11。

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{11±21}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{11±21}{4} 的解。 将 21 加上 11。

$$x=\frac{32}{4}$$

32 除以 4。

$$x=8$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{11±21}{4} 的解。 将 11 减去 21。

$$x=-\frac{10}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-10}{4} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-11x-40=0$$

在等式两边同时加 40。

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

-40 减去它自己得 0。

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

将 0 减去 -40。

$$2x^{2}-11x=40$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

40 除以 2。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

将 x 项的系数 -\frac{11}{2} 除以 2 得 -\frac{11}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{11}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{11}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

将 \frac{121}{16} 加上 20。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

对 x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

化简。

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{11}{4}。

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$