求解 2x^2+3x-14=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x-14=0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=2$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 2x^{2}+ax+bx-14。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -28 的所有此类整数对。

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

计算每对之和。

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

该解答是总和为 3 的对。

$$a=-4 b=7$$

将 2x^{2}+3x-14 改写为 \left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right)。

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 7 中。

$$2x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-2。

$$\left(x-2\right)\left(2x+7\right)$$

若要找到方程解，请解 x-2=0 和 2x+7=0.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+3x-14=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，3 替换 b，并用 -14 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -14 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

将 112 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

取 121 的平方根。

$$x=\frac{-3±11}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-3±11}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±11}{4} 的解。 将 11 加上 -3。

$$x=\frac{8}{4}$$

8 除以 4。

$$x=2$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±11}{4} 的解。 将 -3 减去 11。

$$x=-\frac{14}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-14}{4} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{7}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+3x-14=0$$

在等式两边同时加 14。

$$2x^{2}+3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

-14 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+3x=-\left(-14\right)$$

将 0 减去 -14。

$$2x^{2}+3x=14$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{14}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

14 除以 2。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=7$$

将 x 项的系数 \frac{3}{2} 除以 2 得 \frac{3}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

将 \frac{9}{16} 加上 7。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{4}。

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$