求解 2x^2+3x+7=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+7=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}\approx -0.75+1.71391365i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}\approx -0.75-1.71391365i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+3x+7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，3 替换 b，并用 7 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 7}}{2\times 2}$$

求 -8 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56}}{2\times 2}$$

将 -56 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-47}}{2\times 2}$$

取 -47 的平方根。

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4} 的解。 将 i\sqrt{47} 加上 -3。

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4} 的解。 将 -3 减去 i\sqrt{47}。

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+3x+7=0$$

将等式的两边同时减去 7。

$$2x^{2}+3x+7-7=-7$$

7 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+3x=-7$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{7}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{7}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{3}{2} 除以 2 得 \frac{3}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{9}{16}$$

将 \frac{9}{16} 加上 -\frac{7}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{47}{16}$$

对 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{47}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{47}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{47}i}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{4}。

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$