求解 2x^2+16x-1=0

$$2 { x }^{ 2 } +16x-1=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}-4\approx 0.062019202$$

$$x=-\frac{\sqrt{66}}{2}-4\approx -8.062019202$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+16x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，16 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

对 16 进行平方运算。

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+8}}{2\times 2}$$

将 8 加上 256。

$$x=\frac{-16±\sqrt{264}}{2\times 2}$$

取 264 的平方根。

$$x=\frac{-16±2\sqrt{66}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-16±2\sqrt{66}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-16±2\sqrt{66}}{4} 的解。 将 2\sqrt{66} 加上 -16。

$$x=\frac{2\sqrt{66}-16}{4}$$

-16+2\sqrt{66} 除以 4。

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}-4$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-16±2\sqrt{66}}{4} 的解。 将 -16 减去 2\sqrt{66}。

$$x=\frac{-2\sqrt{66}-16}{4}$$

-16-2\sqrt{66} 除以 4。

$$x=-\frac{\sqrt{66}}{2}-4$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}-4 x=-\frac{\sqrt{66}}{2}-4$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+16x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$2x^{2}+16x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+16x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$2x^{2}+16x=1$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+16x}{2}=\frac{1}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{16}{2}x=\frac{1}{2}$$

16 除以 2。

$$x^{2}+8x=\frac{1}{2}$$

将 x 项的系数 8 除以 2 得 4。然后在等式两边同时加上 4 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+8x+4^{2}=\frac{1}{2}+4^{2}$$

对 4 进行平方运算。

$$x^{2}+8x+16=\frac{1}{2}+16$$

将 16 加上 \frac{1}{2}。

$$x^{2}+8x+16=\frac{33}{2}$$

因数 x^{2}+8x+16。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+4\right)^{2}=\frac{33}{2}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{2}}$$

化简。

$$x+4=\frac{\sqrt{66}}{2} x+4=-\frac{\sqrt{66}}{2}$$

将等式的两边同时减去 4。

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}-4 x=-\frac{\sqrt{66}}{2}-4$$