求解 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

求解 x 的值

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 2x^{2}+ax+bx-24。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -48 的所有此类整数对。

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

计算每对之和。

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

该解答是总和为 13 的对。

$$a=-3 b=16$$

将 2x^{2}+13x-24 改写为 \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)。

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 8 中。

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-3。

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

若要找到方程解，请解 2x-3=0 和 x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+13x-24=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，13 替换 b，并用 -24 替换 c。

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

对 13 进行平方运算。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -24 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

将 192 加上 169。

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

取 361 的平方根。

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-13±19}{4} 的解。 将 19 加上 -13。

$$x=\frac{6}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{6}{4} 降低为最简分数。

$$x=\frac{3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-13±19}{4} 的解。 将 -13 减去 19。

$$x=-\frac{32}{4}$$

-32 除以 4。

$$x=-8$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+13x-24=0$$

在等式两边同时加 24。

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

-24 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

将 0 减去 -24。

$$2x^{2}+13x=24$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

24 除以 2。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

将 x 项的系数 \frac{13}{2} 除以 2 得 \frac{13}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{13}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{13}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

将 \frac{169}{16} 加上 12。

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{13}{4}。

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$