求解 2sqrt{9x}-6=10-2sqrt{x}

$$2 \sqrt { 9 x } - 6 = 10 - 2 \sqrt { x }$$

求解 x 的值

$$x=4$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 -6。

$$2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(2\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

展开 \left(2\sqrt{9x}\right)^{2}。

$$2^{2}\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$4\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{9x} 乘方，得到 9x。

$$4\times 9x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

将 4 与 9 相乘，得到 36。

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}。

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}+12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

将方程式两边同时减去 \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}。

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}=12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

将方程式两边同时减去 12\left(10-2\sqrt{x}\right)。

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}。

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

计算 2 的 \sqrt{x} 乘方，得到 x。

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4x\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

要查找 100-40\sqrt{x}+4x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$36x-100+40\sqrt{x}-4x-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

合并 36x 和 -4x，得到 32x。

$$32x-100+40\sqrt{x}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

使用分配律将 -12 乘以 10-2\sqrt{x}。

$$32x-100+40\sqrt{x}-120+24\sqrt{x}=36$$

将 -100 减去 120，得到 -220。

$$32x-220+40\sqrt{x}+24\sqrt{x}=36$$

合并 40\sqrt{x} 和 24\sqrt{x}，得到 64\sqrt{x}。

$$32x-220+64\sqrt{x}=36$$

将 220 添加到两侧。

$$32x+64\sqrt{x}=36+220$$

36 与 220 相加，得到 256。

$$32x+64\sqrt{x}=256$$

将等式的两边同时减去 32x。

$$64\sqrt{x}=256-32x$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(64\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

展开 \left(64\sqrt{x}\right)^{2}。

$$64^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

计算 2 的 64 乘方，得到 4096。

$$4096\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x} 乘方，得到 x。

$$4096x=\left(-32x+256\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(-32x+256\right)^{2}。

$$4096x=1024x^{2}-16384x+65536$$

将方程式两边同时减去 1024x^{2}。

$$4096x-1024x^{2}=-16384x+65536$$

将 16384x 添加到两侧。

$$4096x-1024x^{2}+16384x=65536$$

合并 4096x 和 16384x，得到 20480x。

$$20480x-1024x^{2}=65536$$

将方程式两边同时减去 65536。

$$20480x-1024x^{2}-65536=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-1024x^{2}+20480x-65536=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1024 替换 a，20480 替换 b，并用 -65536 替换 c。

$$x=\frac{-20480±\sqrt{20480^{2}-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

对 20480 进行平方运算。

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

求 -4 与 -1024 的乘积。

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400+4096\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

求 4096 与 -65536 的乘积。

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-268435456}}{2\left(-1024\right)}$$

将 -268435456 加上 419430400。

$$x=\frac{-20480±\sqrt{150994944}}{2\left(-1024\right)}$$

取 150994944 的平方根。

$$x=\frac{-20480±12288}{2\left(-1024\right)}$$

求 2 与 -1024 的乘积。

$$x=\frac{-20480±12288}{-2048}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-20480±12288}{-2048} 的解。 将 12288 加上 -20480。

$$x=-\frac{8192}{-2048}$$

-8192 除以 -2048。

$$x=4$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-20480±12288}{-2048} 的解。 将 -20480 减去 12288。

$$x=-\frac{32768}{-2048}$$

-32768 除以 -2048。

$$x=16$$

现已求得方程式的解。

$$x=4 x=16$$

用 4 替代方程 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x} 中的 x。

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

化简。 值 x=4 满足公式。

$$6=6$$

用 16 替代方程 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x} 中的 x。

$$2\sqrt{9\times 16}-6=10-2\sqrt{16}$$

化简。 x=16 的值不满足公式。

$$18=2$$

用 4 替代方程 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x} 中的 x。

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

化简。 值 x=4 满足公式。

$$6=6$$

公式 2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6 具有唯一解。

$$x=4$$