求解 18x^2+33x=180

$$18 x ^ { 2 } + 33 x = 180$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2.375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4.209124378$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$18x^{2}+33x=180$$

将等式的两边同时减去 180。

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

180 减去它自己得 0。

$$18x^{2}+33x-180=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 18 替换 a，33 替换 b，并用 -180 替换 c。

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

对 33 进行平方运算。

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

求 -4 与 18 的乘积。

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

求 -72 与 -180 的乘积。

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

将 12960 加上 1089。

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

取 14049 的平方根。

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

求 2 与 18 的乘积。

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} 的解。 将 3\sqrt{1561} 加上 -33。

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

-33+3\sqrt{1561} 除以 36。

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} 的解。 将 -33 减去 3\sqrt{1561}。

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

-33-3\sqrt{1561} 除以 36。

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$18x^{2}+33x=180$$

两边同时除以 18。

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

除以 18 是乘以 18 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{33}{18} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

180 除以 18。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

将 x 项的系数 \frac{11}{6} 除以 2 得 \frac{11}{12}。然后在等式两边同时加上 \frac{11}{12} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

对 \frac{11}{12} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

将 \frac{121}{144} 加上 10。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

因数 x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

化简。

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

将等式的两边同时减去 \frac{11}{12}。

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$