求解 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 18x^{2}+ax+bx-5。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -90 的所有此类整数对。

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

计算每对之和。

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

该解答是总和为 -9 的对。

$$a=-15 b=6$$

将 18x^{2}-9x-5 改写为 \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)。

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

从 18x^{2}-15x 分解出因子 3x。

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

通过使用分布式属性分解出共同项 6x-5。

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 6x-5=0 和 3x+1=0。

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$18x^{2}-9x-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 18 替换 a，-9 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

对 -9 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

求 -4 与 18 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

求 -72 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

将 360 加上 81。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

取 441 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9 的相反数是 9。

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

求 2 与 18 的乘积。

$$x=\frac{9±21}{36}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{9±21}{36} 的解。 将 21 加上 9。

$$x=\frac{30}{36}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{30}{36} 降低为最简分数。

$$x=\frac{5}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{9±21}{36} 的解。 将 9 减去 21。

$$x=-\frac{12}{36}$$

通过求根和消去 12，将分数 \frac{-12}{36} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$18x^{2}-9x-5=0$$

在等式两边同时加 5。

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 减去它自己得 0。

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

将 0 减去 -5。

$$18x^{2}-9x=5$$

两边同时除以 18。

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

除以 18 是乘以 18 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

通过求根和消去 9，将分数 \frac{-9}{18} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{2} 除以 2 得 -\frac{1}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

将 \frac{1}{16} 加上 \frac{5}{18}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

对 x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{4}。

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$