求解 16+x^2+left(4-xright)^2+16={left(4sqrt{5}right)}^2

$$16+ { x }^{ 2 } + { \left(4-x \right) }^{ 2 } +16= { \left(4 \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 }$$

求解 x 的值

$$x=2\sqrt{5}+2\approx 6.472135955$$

$$x=2-2\sqrt{5}\approx -2.472135955$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(4-x\right)^{2}。

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

16 与 16 相加，得到 32。

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

合并 x^{2} 和 x^{2}，得到 2x^{2}。

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

32 与 16 相加，得到 48。

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

展开 \left(4\sqrt{5}\right)^{2}。

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

计算 2 的 4 乘方，得到 16。

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

将 16 与 5 相乘，得到 80。

$$48+2x^{2}-8x=80$$

将方程式两边同时减去 80。

$$48+2x^{2}-8x-80=0$$

将 48 减去 80，得到 -32。

$$-32+2x^{2}-8x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-8x-32=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-8 替换 b，并用 -32 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

对 -8 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -32 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+256}}{2\times 2}$$

将 256 加上 64。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{320}}{2\times 2}$$

取 320 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

-8 的相反数是 8。

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4} 的解。 将 8\sqrt{5} 加上 8。

$$x=\frac{8\sqrt{5}+8}{4}$$

8+8\sqrt{5} 除以 4。

$$x=2\sqrt{5}+2$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4} 的解。 将 8 减去 8\sqrt{5}。

$$x=\frac{8-8\sqrt{5}}{4}$$

8-8\sqrt{5} 除以 4。

$$x=2-2\sqrt{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(4-x\right)^{2}。

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

16 与 16 相加，得到 32。

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

合并 x^{2} 和 x^{2}，得到 2x^{2}。

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

32 与 16 相加，得到 48。

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

展开 \left(4\sqrt{5}\right)^{2}。

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

计算 2 的 4 乘方，得到 16。

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

将 16 与 5 相乘，得到 80。

$$48+2x^{2}-8x=80$$

将方程式两边同时减去 48。

$$2x^{2}-8x=80-48$$

将 80 减去 48，得到 32。

$$2x^{2}-8x=32$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{32}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{32}{2}$$

-8 除以 2。

$$x^{2}-4x=\frac{32}{2}$$

32 除以 2。

$$x^{2}-4x=16$$

将 x 项的系数 -4 除以 2 得 -2。然后在等式两边同时加上 -2 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=16+\left(-2\right)^{2}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x^{2}-4x+4=16+4$$

将 4 加上 16。

$$x^{2}-4x+4=20$$

因数 x^{2}-4x+4。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-2\right)^{2}=20$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

化简。

$$x-2=2\sqrt{5} x-2=-2\sqrt{5}$$

在等式两边同时加 2。

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$