求解 16x^2+74x+9=0

$$16 x ^ { 2 } + 74 x + 9 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=-\frac{1}{8}=-0.125$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 16x^{2}+ax+bx+9。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=74 ab=16\times 9=144$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 由于 a+b 是正数，a 并且 b 都是正数。 列出提供产品 144 的所有此类整数对。

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

计算每对之和。

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

该解答是总和为 74 的对。

$$a=2 b=72$$

将 16x^{2}+74x+9 改写为 \left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)。

$$\left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 9 中。

$$2x\left(8x+1\right)+9\left(8x+1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 8x+1。

$$\left(8x+1\right)\left(2x+9\right)$$

若要找到方程解，请解 8x+1=0 和 2x+9=0.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$16x^{2}+74x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 16 替换 a，74 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

对 74 进行平方运算。

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

求 -4 与 16 的乘积。

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-64\times 9}}{2\times 16}$$

求 -64 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-576}}{2\times 16}$$

将 -576 加上 5476。

$$x=\frac{-74±\sqrt{4900}}{2\times 16}$$

取 4900 的平方根。

$$x=\frac{-74±70}{2\times 16}$$

求 2 与 16 的乘积。

$$x=\frac{-74±70}{32}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-74±70}{32} 的解。 将 70 加上 -74。

$$x=-\frac{4}{32}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-4}{32} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-74±70}{32} 的解。 将 -74 减去 70。

$$x=-\frac{144}{32}$$

通过求根和消去 16，将分数 \frac{-144}{32} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{9}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$16x^{2}+74x+9=0$$

将等式的两边同时减去 9。

$$16x^{2}+74x+9-9=-9$$

9 减去它自己得 0。

$$16x^{2}+74x=-9$$

两边同时除以 16。

$$\frac{16x^{2}+74x}{16}=-\frac{9}{16}$$

除以 16 是乘以 16 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{74}{16}x=-\frac{9}{16}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{74}{16} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{37}{8}x=-\frac{9}{16}$$

将 x 项的系数 \frac{37}{8} 除以 2 得 \frac{37}{16}。然后在等式两边同时加上 \frac{37}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}$$

对 \frac{37}{16} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=-\frac{9}{16}+\frac{1369}{256}$$

将 \frac{1369}{256} 加上 -\frac{9}{16}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{1225}{256}$$

因数 x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{1225}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{256}}$$

化简。

$$x+\frac{37}{16}=\frac{35}{16} x+\frac{37}{16}=-\frac{35}{16}$$

将等式的两边同时减去 \frac{37}{16}。

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$