求解 16x^2+64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } + 64 x + 65 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=-2+\frac{1}{4}i=-2+0.25i$$

$$x=-2-\frac{1}{4}i=-2-0.25i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$16x^{2}+64x+65=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 16 替换 a，64 替换 b，并用 65 替换 c。

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

对 64 进行平方运算。

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

求 -4 与 16 的乘积。

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

求 -64 与 65 的乘积。

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

将 -4160 加上 4096。

$$x=\frac{-64±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

取 -64 的平方根。

$$x=\frac{-64±8i}{2\times 16}$$

求 2 与 16 的乘积。

$$x=\frac{-64±8i}{32}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-64±8i}{32} 的解。 将 8i 加上 -64。

$$x=\frac{-64+8i}{32}$$

-64+8i 除以 32。

$$x=-2+\frac{1}{4}i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-64±8i}{32} 的解。 将 -64 减去 8i。

$$x=\frac{-64-8i}{32}$$

-64-8i 除以 32。

$$x=-2-\frac{1}{4}i$$

现已求得方程式的解。

$$x=-2+\frac{1}{4}i x=-2-\frac{1}{4}i$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$16x^{2}+64x+65=0$$

将等式的两边同时减去 65。

$$16x^{2}+64x+65-65=-65$$

65 减去它自己得 0。

$$16x^{2}+64x=-65$$

两边同时除以 16。

$$\frac{16x^{2}+64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

除以 16 是乘以 16 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{64}{16}x=-\frac{65}{16}$$

64 除以 16。

$$x^{2}+4x=-\frac{65}{16}$$

将 x 项的系数 4 除以 2 得 2。然后在等式两边同时加上 2 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{65}{16}+2^{2}$$

对 2 进行平方运算。

$$x^{2}+4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

将 4 加上 -\frac{65}{16}。

$$x^{2}+4x+4=-\frac{1}{16}$$

因数 x^{2}+4x+4。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

化简。

$$x+2=\frac{1}{4}i x+2=-\frac{1}{4}i$$

将等式的两边同时减去 2。

$$x=-2+\frac{1}{4}i x=-2-\frac{1}{4}i$$