求解 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 16x^{2}+ax+bx-9。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -144 的所有此类整数对。

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

计算每对之和。

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

该解答是总和为 10 的对。

$$a=-8 b=18$$

将 16x^{2}+10x-9 改写为 \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)。

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

将 8x 放在第二个组中的第一个和 9 中。

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-1。

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

若要找到方程解，请解 2x-1=0 和 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$16x^{2}+10x-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 16 替换 a，10 替换 b，并用 -9 替换 c。

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

对 10 进行平方运算。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

求 -4 与 16 的乘积。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

求 -64 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

将 576 加上 100。

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

取 676 的平方根。

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

求 2 与 16 的乘积。

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-10±26}{32} 的解。 将 26 加上 -10。

$$x=\frac{16}{32}$$

通过求根和消去 16，将分数 \frac{16}{32} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-10±26}{32} 的解。 将 -10 减去 26。

$$x=-\frac{36}{32}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-36}{32} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{9}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$16x^{2}+10x-9=0$$

在等式两边同时加 9。

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 减去它自己得 0。

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

将 0 减去 -9。

$$16x^{2}+10x=9$$

两边同时除以 16。

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

除以 16 是乘以 16 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{10}{16} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

将 x 项的系数 \frac{5}{8} 除以 2 得 \frac{5}{16}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{16} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

将 \frac{25}{256} 加上 \frac{9}{16}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

因数 x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{16}。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$