求解 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0.285714286$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 14x^{2}+ax+bx-2。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -28 的所有此类整数对。

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

计算每对之和。

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

该解答是总和为 3 的对。

$$a=-4 b=7$$

将 14x^{2}+3x-2 改写为 \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)。

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

从 14x^{2}-4x 分解出因子 2x。

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

通过使用分布式属性分解出共同项 7x-2。

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 7x-2=0 和 2x+1=0。

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$14x^{2}+3x-2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 14 替换 a，3 替换 b，并用 -2 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

求 -4 与 14 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

求 -56 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

将 112 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

取 121 的平方根。

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

求 2 与 14 的乘积。

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±11}{28} 的解。 将 11 加上 -3。

$$x=\frac{8}{28}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{8}{28} 降低为最简分数。

$$x=\frac{2}{7}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±11}{28} 的解。 将 -3 减去 11。

$$x=-\frac{14}{28}$$

通过求根和消去 14，将分数 \frac{-14}{28} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$14x^{2}+3x-2=0$$

在等式两边同时加 2。

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 减去它自己得 0。

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

将 0 减去 -2。

$$14x^{2}+3x=2$$

两边同时除以 14。

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

除以 14 是乘以 14 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{2}{14} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

将 x 项的系数 \frac{3}{14} 除以 2 得 \frac{3}{28}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{28} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{28} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

将 \frac{9}{784} 加上 \frac{1}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

对 x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{28}。

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$