求解 13x^2-5x-20=0

$$13 x ^ { 2 } - 5 x - 20 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{1065} + 5}{26} \approx 1.447474529$$

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}\approx -1.062859144$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$13x^{2}-5x-20=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 13 替换 a，-5 替换 b，并用 -20 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

求 -4 与 13 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

求 -52 与 -20 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+1040}}{2\times 13}$$

将 1040 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

求 2 与 13 的乘积。

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26} 的解。 将 \sqrt{1065} 加上 5。

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26} 的解。 将 5 减去 \sqrt{1065}。

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$13x^{2}-5x-20=0$$

在等式两边同时加 20。

$$13x^{2}-5x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20 减去它自己得 0。

$$13x^{2}-5x=-\left(-20\right)$$

将 0 减去 -20。

$$13x^{2}-5x=20$$

两边同时除以 13。

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=\frac{20}{13}$$

除以 13 是乘以 13 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=\frac{20}{13}$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{13} 除以 2 得 -\frac{5}{26}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{26} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{26} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{20}{13}+\frac{25}{676}$$

将 \frac{25}{676} 加上 \frac{20}{13}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{1065}{676}$$

因数 x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{1065}{676}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1065}{676}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{1065}}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{1065}}{26}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{26}。

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$