求解 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

求解 n 的值

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 13n^{2}+an+bn-120。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -1560 的所有此类整数对。

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

计算每对之和。

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

该解答是总和为 -41 的对。

$$a=-65 b=24$$

将 13n^{2}-41n-120 改写为 \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)。

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

将 13n 放在第二个组中的第一个和 24 中。

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 n-5。

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

若要找到方程解，请解 n-5=0 和 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$13n^{2}-41n-120=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 13 替换 a，-41 替换 b，并用 -120 替换 c。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

对 -41 进行平方运算。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

求 -4 与 13 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

求 -52 与 -120 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

将 6240 加上 1681。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

取 7921 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41 的相反数是 41。

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

求 2 与 13 的乘积。

$$n=\frac{41±89}{26}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{41±89}{26} 的解。 将 89 加上 41。

$$n=\frac{130}{26}$$

130 除以 26。

$$n=5$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{41±89}{26} 的解。 将 41 减去 89。

$$n=-\frac{48}{26}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-48}{26} 降低为最简分数。

$$n=-\frac{24}{13}$$

现已求得方程式的解。

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$13n^{2}-41n-120=0$$

在等式两边同时加 120。

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 减去它自己得 0。

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

将 0 减去 -120。

$$13n^{2}-41n=120$$

两边同时除以 13。

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

除以 13 是乘以 13 的逆运算。

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

将 x 项的系数 -\frac{41}{13} 除以 2 得 -\frac{41}{26}。然后在等式两边同时加上 -\frac{41}{26} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

对 -\frac{41}{26} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

将 \frac{1681}{676} 加上 \frac{120}{13}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

因数 n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

化简。

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

在等式两边同时加 \frac{41}{26}。

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$