求解 12345x^2+54321x-99999=0

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1.397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5.797467635$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 12345 替换 a，54321 替换 b，并用 -99999 替换 c。

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

对 54321 进行平方运算。

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

求 -4 与 12345 的乘积。

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

求 -49380 与 -99999 的乘积。

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

将 4937950620 加上 2950771041。

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

取 7888721661 的平方根。

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

求 2 与 12345 的乘积。

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} 的解。 将 3\sqrt{876524629} 加上 -54321。

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

-54321+3\sqrt{876524629} 除以 24690。

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} 的解。 将 -54321 减去 3\sqrt{876524629}。

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

-54321-3\sqrt{876524629} 除以 24690。

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

在等式两边同时加 99999。

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

-99999 减去它自己得 0。

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

将 0 减去 -99999。

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

两边同时除以 12345。

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

除以 12345 是乘以 12345 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{54321}{12345} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{99999}{12345} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

将 x 项的系数 \frac{18107}{4115} 除以 2 得 \frac{18107}{8230}。然后在等式两边同时加上 \frac{18107}{8230} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

对 \frac{18107}{8230} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

将 \frac{327863449}{67732900} 加上 \frac{33333}{4115}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

因数 x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

化简。

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

将等式的两边同时减去 \frac{18107}{8230}。

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$