求解 12x^2-320x+1600=0

$$12 x ^ { 2 } - 320 x + 1600 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

$$x=20$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 12 替换 a，-320 替换 b，并用 1600 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{\left(-320\right)^{2}-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

对 -320 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

求 -4 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-48\times 1600}}{2\times 12}$$

求 -48 与 1600 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-76800}}{2\times 12}$$

将 -76800 加上 102400。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{25600}}{2\times 12}$$

取 25600 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±160}{2\times 12}$$

-320 的相反数是 320。

$$x=\frac{320±160}{2\times 12}$$

求 2 与 12 的乘积。

$$x=\frac{320±160}{24}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{320±160}{24} 的解。 将 160 加上 320。

$$x=\frac{480}{24}$$

480 除以 24。

$$x=20$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{320±160}{24} 的解。 将 320 减去 160。

$$x=\frac{160}{24}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{160}{24} 降低为最简分数。

$$x=\frac{20}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

将等式的两边同时减去 1600。

$$12x^{2}-320x+1600-1600=-1600$$

1600 减去它自己得 0。

$$12x^{2}-320x=-1600$$

两边同时除以 12。

$$\frac{12x^{2}-320x}{12}=-\frac{1600}{12}$$

除以 12 是乘以 12 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{320}{12}\right)x=-\frac{1600}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-320}{12} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{1600}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-1600}{12} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{400}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{80}{3} 除以 2 得 -\frac{40}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{40}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}=-\frac{400}{3}+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{40}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=-\frac{400}{3}+\frac{1600}{9}$$

将 \frac{1600}{9} 加上 -\frac{400}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=\frac{400}{9}$$

对 x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{40}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{40}{3}=-\frac{20}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{40}{3}。

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$