求解 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0.083333333+0.640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0.083333333-0.640095479i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$12x^{2}-2x+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 12 替换 a，-2 替换 b，并用 5 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

求 -4 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

求 -48 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

将 -240 加上 4。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

取 -236 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

-2 的相反数是 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

求 2 与 12 的乘积。

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} 的解。 将 2i\sqrt{59} 加上 2。

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

2+2i\sqrt{59} 除以 24。

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} 的解。 将 2 减去 2i\sqrt{59}。

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

2-2i\sqrt{59} 除以 24。

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$12x^{2}-2x+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$12x^{2}-2x=-5$$

两边同时除以 12。

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

除以 12 是乘以 12 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-2}{12} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{6} 除以 2 得 -\frac{1}{12}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{12} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{12} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

将 \frac{1}{144} 加上 -\frac{5}{12}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

对 x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{12}。

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$