求解 12x^2+11x-15=0

$$12 x ^ { 2 } + 11 x - 15 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 12x^{2}+ax+bx-15。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -180 的所有此类整数对。

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

计算每对之和。

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

该解答是总和为 11 的对。

$$a=-9 b=20$$

将 12x^{2}+11x-15 改写为 \left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right)。

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right)$$

将 3x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$3x\left(4x-3\right)+5\left(4x-3\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 4x-3。

$$\left(4x-3\right)\left(3x+5\right)$$

若要找到方程解，请解 4x-3=0 和 3x+5=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$12x^{2}+11x-15=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 12 替换 a，11 替换 b，并用 -15 替换 c。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

对 11 进行平方运算。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

求 -4 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

求 -48 与 -15 的乘积。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

将 720 加上 121。

$$x=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

取 841 的平方根。

$$x=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

求 2 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-11±29}{24}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-11±29}{24} 的解。 将 29 加上 -11。

$$x=\frac{18}{24}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{18}{24} 降低为最简分数。

$$x=\frac{3}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-11±29}{24} 的解。 将 -11 减去 29。

$$x=-\frac{40}{24}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{-40}{24} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{5}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$12x^{2}+11x-15=0$$

在等式两边同时加 15。

$$12x^{2}+11x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 减去它自己得 0。

$$12x^{2}+11x=-\left(-15\right)$$

将 0 减去 -15。

$$12x^{2}+11x=15$$

两边同时除以 12。

$$\frac{12x^{2}+11x}{12}=\frac{15}{12}$$

除以 12 是乘以 12 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{15}{12}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{15}{12} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{5}{4}$$

将 x 项的系数 \frac{11}{12} 除以 2 得 \frac{11}{24}。然后在等式两边同时加上 \frac{11}{24} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}$$

对 \frac{11}{24} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

将 \frac{121}{576} 加上 \frac{5}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

因数 x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

化简。

$$x+\frac{11}{24}=\frac{29}{24} x+\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

将等式的两边同时减去 \frac{11}{24}。

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$