求解 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

求解 r 的值

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 12r^{2}+ar+br-15。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -180 的所有此类整数对。

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

计算每对之和。

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

该解答是总和为 -11 的对。

$$a=-20 b=9$$

将 12r^{2}-11r-15 改写为 \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)。

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

将 4r 放在第二个组中的第一个和 3 中。

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3r-5。

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

若要找到方程解，请解 3r-5=0 和 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$12r^{2}-11r-15=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 12 替换 a，-11 替换 b，并用 -15 替换 c。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

对 -11 进行平方运算。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

求 -4 与 12 的乘积。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

求 -48 与 -15 的乘积。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

将 720 加上 121。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

取 841 的平方根。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 的相反数是 11。

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

求 2 与 12 的乘积。

$$r=\frac{11±29}{24}$$

现在 ± 为加号时求公式 r=\frac{11±29}{24} 的解。 将 29 加上 11。

$$r=\frac{40}{24}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{40}{24} 降低为最简分数。

$$r=\frac{5}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 r=\frac{11±29}{24} 的解。 将 11 减去 29。

$$r=-\frac{18}{24}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{-18}{24} 降低为最简分数。

$$r=-\frac{3}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$12r^{2}-11r-15=0$$

在等式两边同时加 15。

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 减去它自己得 0。

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

将 0 减去 -15。

$$12r^{2}-11r=15$$

两边同时除以 12。

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

除以 12 是乘以 12 的逆运算。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{15}{12} 降低为最简分数。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

将 x 项的系数 -\frac{11}{12} 除以 2 得 -\frac{11}{24}。然后在等式两边同时加上 -\frac{11}{24} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

对 -\frac{11}{24} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

将 \frac{121}{576} 加上 \frac{5}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

因数 r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

化简。

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

在等式两边同时加 \frac{11}{24}。

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$