求解 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 12x^{2}+ax+bx+5。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 由于 a+b 是正数, a 并且 b 都是正数。 列出提供产品 60 的所有此类整数对。

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

计算每对之和。

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

该解答是总和为 32 的对。

$$a=2 b=30$$

将 12x^{2}+32x+5 改写为 \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)。

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 6x+1。

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 6x+1=0 和 2x+5=0。

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$12x^{2}+32x+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 12 替换 a，32 替换 b，并用 5 替换 c。

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

对 32 进行平方运算。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

求 -4 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

求 -48 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

将 -240 加上 1024。

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

取 784 的平方根。

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

求 2 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-32±28}{24} 的解。 将 28 加上 -32。

$$x=-\frac{4}{24}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-4}{24} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-32±28}{24} 的解。 将 -32 减去 28。

$$x=-\frac{60}{24}$$

通过求根和消去 12，将分数 \frac{-60}{24} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$12x^{2}+32x+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$12x^{2}+32x=-5$$

两边同时除以 12。

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

除以 12 是乘以 12 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{32}{12} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

将 x 项的系数 \frac{8}{3} 除以 2 得 \frac{4}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{4}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{4}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

将 \frac{16}{9} 加上 -\frac{5}{12}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

对 x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

化简。

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{4}{3}。

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$