求解 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$12x^{2}+25x-45=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 12 替换 a，25 替换 b，并用 -45 替换 c。

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

对 25 进行平方运算。

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

求 -4 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

求 -48 与 -45 的乘积。

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

将 2160 加上 625。

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

求 2 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} 的解。 将 \sqrt{2785} 加上 -25。

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} 的解。 将 -25 减去 \sqrt{2785}。

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$12x^{2}+25x-45=0$$

在等式两边同时加 45。

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

-45 减去它自己得 0。

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

将 0 减去 -45。

$$12x^{2}+25x=45$$

两边同时除以 12。

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

除以 12 是乘以 12 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{45}{12} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

将 x 项的系数 \frac{25}{12} 除以 2 得 \frac{25}{24}。然后在等式两边同时加上 \frac{25}{24} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

对 \frac{25}{24} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

将 \frac{625}{576} 加上 \frac{15}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

对 x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

化简。

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

将等式的两边同时减去 \frac{25}{24}。

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$