求解 11=1+20x-4.9x^2

$$11=1+20x-4.9 { x }^{ 2 }$$

求解 x 的值

$$x = \frac{10 \sqrt{51} + 100}{49} \approx 3.4982507$$

$$x=\frac{100-10\sqrt{51}}{49}\approx 0.583381953$$

运用二次公式的步骤

移项以使所有变量项位于左边。

$$1+20x-4.9x^{2}=11$$

将方程式两边同时减去 11。

$$1+20x-4.9x^{2}-11=0$$

将 1 减去 11，得到 -10。

$$-10+20x-4.9x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-4.9x^{2}+20x-10=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -4.9 替换 a，20 替换 b，并用 -10 替换 c。

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4.9\right)\left(-10\right)}}{2\left(-4.9\right)}$$

对 20 进行平方运算。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4.9\right)\left(-10\right)}}{2\left(-4.9\right)}$$

求 -4 与 -4.9 的乘积。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+19.6\left(-10\right)}}{2\left(-4.9\right)}$$

求 19.6 与 -10 的乘积。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-196}}{2\left(-4.9\right)}$$

将 -196 加上 400。

$$x=\frac{-20±\sqrt{204}}{2\left(-4.9\right)}$$

取 204 的平方根。

$$x=\frac{-20±2\sqrt{51}}{2\left(-4.9\right)}$$

求 2 与 -4.9 的乘积。

$$x=\frac{-20±2\sqrt{51}}{-9.8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-20±2\sqrt{51}}{-9.8} 的解。 将 2\sqrt{51} 加上 -20。

$$x=\frac{2\sqrt{51}-20}{-9.8}$$

-20+2\sqrt{51} 除以 -9.8 的计算方法是用 -20+2\sqrt{51} 乘以 -9.8 的倒数。

$$x=\frac{100-10\sqrt{51}}{49}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-20±2\sqrt{51}}{-9.8} 的解。 将 -20 减去 2\sqrt{51}。

$$x=\frac{-2\sqrt{51}-20}{-9.8}$$

-20-2\sqrt{51} 除以 -9.8 的计算方法是用 -20-2\sqrt{51} 乘以 -9.8 的倒数。

$$x=\frac{10\sqrt{51}+100}{49}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{100-10\sqrt{51}}{49} x=\frac{10\sqrt{51}+100}{49}$$

使用配方法的步骤

移项以使所有变量项位于左边。

$$1+20x-4.9x^{2}=11$$

将方程式两边同时减去 1。

$$20x-4.9x^{2}=11-1$$

将 11 减去 1，得到 10。

$$20x-4.9x^{2}=10$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-4.9x^{2}+20x=10$$

等式两边同时除以 -4.9，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。

$$\frac{-4.9x^{2}+20x}{-4.9}=\frac{10}{-4.9}$$

除以 -4.9 是乘以 -4.9 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{20}{-4.9}x=\frac{10}{-4.9}$$

20 除以 -4.9 的计算方法是用 20 乘以 -4.9 的倒数。

$$x^{2}-\frac{200}{49}x=\frac{10}{-4.9}$$

10 除以 -4.9 的计算方法是用 10 乘以 -4.9 的倒数。

$$x^{2}-\frac{200}{49}x=-\frac{100}{49}$$

将 x 项的系数 -\frac{200}{49} 除以 2 得 -\frac{100}{49}。然后在等式两边同时加上 -\frac{100}{49} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{200}{49}x+\left(-\frac{100}{49}\right)^{2}=-\frac{100}{49}+\left(-\frac{100}{49}\right)^{2}$$

对 -\frac{100}{49} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{200}{49}x+\frac{10000}{2401}=-\frac{100}{49}+\frac{10000}{2401}$$

将 \frac{10000}{2401} 加上 -\frac{100}{49}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{200}{49}x+\frac{10000}{2401}=\frac{5100}{2401}$$

因数 x^{2}-\frac{200}{49}x+\frac{10000}{2401}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{100}{49}\right)^{2}=\frac{5100}{2401}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{100}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5100}{2401}}$$

化简。

$$x-\frac{100}{49}=\frac{10\sqrt{51}}{49} x-\frac{100}{49}=-\frac{10\sqrt{51}}{49}$$

在等式两边同时加 \frac{100}{49}。

$$x=\frac{10\sqrt{51}+100}{49} x=\frac{100-10\sqrt{51}}{49}$$