求解 11y^2+y=2

$$11 y ^ { 2 } + y = 2$$

求解 y 的值

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}\approx 0.383362779$$

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}\approx -0.47427187$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$11y^{2}+y=2$$

将等式的两边同时减去 2。

$$11y^{2}+y-2=2-2$$

2 减去它自己得 0。

$$11y^{2}+y-2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 11 替换 a，1 替换 b，并用 -2 替换 c。

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

对 1 进行平方运算。

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

求 -4 与 11 的乘积。

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

求 -44 与 -2 的乘积。

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+88}}{2\times 11}$$

将 88 加上 1。

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{2\times 11}$$

求 2 与 11 的乘积。

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22} 的解。 将 \sqrt{89} 加上 -1。

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22} 的解。 将 -1 减去 \sqrt{89}。

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$11y^{2}+y=2$$

两边同时除以 11。

$$\frac{11y^{2}+y}{11}=\frac{2}{11}$$

除以 11 是乘以 11 的逆运算。

$$y^{2}+\frac{1}{11}y=\frac{2}{11}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{11} 除以 2 得 \frac{1}{22}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{22} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{22} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{2}{11}+\frac{1}{484}$$

将 \frac{1}{484} 加上 \frac{2}{11}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{89}{484}$$

因数 y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{89}{484}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{484}}$$

化简。

$$y+\frac{1}{22}=\frac{\sqrt{89}}{22} y+\frac{1}{22}=-\frac{\sqrt{89}}{22}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{22}。

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$