求解 11x^2+4x-2=0

$$11 { x }^{ 2 } +4x-2=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11}\approx 0.281729047$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}\approx -0.64536541$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$11x^{2}+4x-2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 11 替换 a，4 替换 b，并用 -2 替换 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

对 4 进行平方运算。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

求 -4 与 11 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

求 -44 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+88}}{2\times 11}$$

将 88 加上 16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{104}}{2\times 11}$$

取 104 的平方根。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{2\times 11}$$

求 2 与 11 的乘积。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22} 的解。 将 2\sqrt{26} 加上 -4。

$$x=\frac{2\sqrt{26}-4}{22}$$

-4+2\sqrt{26} 除以 22。

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22} 的解。 将 -4 减去 2\sqrt{26}。

$$x=\frac{-2\sqrt{26}-4}{22}$$

-4-2\sqrt{26} 除以 22。

$$x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11} x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$11x^{2}+4x-2=0$$

在等式两边同时加 2。

$$11x^{2}+4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 减去它自己得 0。

$$11x^{2}+4x=-\left(-2\right)$$

将 0 减去 -2。

$$11x^{2}+4x=2$$

两边同时除以 11。

$$\frac{11x^{2}+4x}{11}=\frac{2}{11}$$

除以 11 是乘以 11 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4}{11}x=\frac{2}{11}$$

将 x 项的系数 \frac{4}{11} 除以 2 得 \frac{2}{11}。然后在等式两边同时加上 \frac{2}{11} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\left(\frac{2}{11}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{2}{11}\right)^{2}$$

对 \frac{2}{11} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}=\frac{2}{11}+\frac{4}{121}$$

将 \frac{4}{121} 加上 \frac{2}{11}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}=\frac{26}{121}$$

因数 x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{2}{11}\right)^{2}=\frac{26}{121}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{26}{121}}$$

化简。

$$x+\frac{2}{11}=\frac{\sqrt{26}}{11} x+\frac{2}{11}=-\frac{\sqrt{26}}{11}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2}{11}。

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11} x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$