求解 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{51}{100}=-0.51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 1000x^{2}+ax+bx-561。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -561000 的所有此类整数对。

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

计算每对之和。

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

该解答是总和为 -590 的对。

$$a=-1100 b=510$$

将 1000x^{2}-590x-561 改写为 \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)。

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

将 100x 放在第二个组中的第一个和 51 中。

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 10x-11。

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

若要找到方程解，请解 10x-11=0 和 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1000 替换 a，-590 替换 b，并用 -561 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

对 -590 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

求 -4 与 1000 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

求 -4000 与 -561 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

将 2244000 加上 348100。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

取 2592100 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

-590 的相反数是 590。

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

求 2 与 1000 的乘积。

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{590±1610}{2000} 的解。 将 1610 加上 590。

$$x=\frac{2200}{2000}$$

通过求根和消去 200，将分数 \frac{2200}{2000} 降低为最简分数。

$$x=\frac{11}{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{590±1610}{2000} 的解。 将 590 减去 1610。

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

通过求根和消去 20，将分数 \frac{-1020}{2000} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{51}{100}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

在等式两边同时加 561。

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

-561 减去它自己得 0。

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

将 0 减去 -561。

$$1000x^{2}-590x=561$$

两边同时除以 1000。

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

除以 1000 是乘以 1000 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

通过求根和消去 10，将分数 \frac{-590}{1000} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

将 x 项的系数 -\frac{59}{100} 除以 2 得 -\frac{59}{200}。然后在等式两边同时加上 -\frac{59}{200} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

对 -\frac{59}{200} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

将 \frac{3481}{40000} 加上 \frac{561}{1000}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

因数 x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

化简。

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

在等式两边同时加 \frac{59}{200}。

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$