求解 10x^2-15x+2=0

$$10 x ^ { 2 } - 15 x + 2 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 1.352079729$$

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 0.147920271$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$10x^{2}-15x+2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 10 替换 a，-15 替换 b，并用 2 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

对 -15 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

求 -4 与 10 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-40\times 2}}{2\times 10}$$

求 -40 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-80}}{2\times 10}$$

将 -80 加上 225。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

-15 的相反数是 15。

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

求 2 与 10 的乘积。

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} 的解。 将 \sqrt{145} 加上 15。

$$x=\frac{\sqrt{145}+15}{20}$$

15+\sqrt{145} 除以 20。

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} 的解。 将 15 减去 \sqrt{145}。

$$x=\frac{15-\sqrt{145}}{20}$$

15-\sqrt{145} 除以 20。

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$10x^{2}-15x+2=0$$

将等式的两边同时减去 2。

$$10x^{2}-15x+2-2=-2$$

2 减去它自己得 0。

$$10x^{2}-15x=-2$$

两边同时除以 10。

$$\frac{10x^{2}-15x}{10}=-\frac{2}{10}$$

除以 10 是乘以 10 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{10}\right)x=-\frac{2}{10}$$

通过求根和消去 5，将分数 \frac{-15}{10} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{10}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-2}{10} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{5}$$

将 x 项的系数 -\frac{3}{2} 除以 2 得 -\frac{3}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{16}$$

将 \frac{9}{16} 加上 -\frac{1}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{29}{80}$$

对 x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{29}{80}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{80}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{145}}{20} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{20}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$