求解 10x^2+19x-15=0

$$10 { x }^{ 2 } +19x-15=0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 10x^{2}+ax+bx-15。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=19 ab=10\left(-15\right)=-150$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -150 的所有此类整数对。

$$-1,150 -2,75 -3,50 -5,30 -6,25 -10,15$$

计算每对之和。

$$-1+150=149 -2+75=73 -3+50=47 -5+30=25 -6+25=19 -10+15=5$$

该解答是总和为 19 的对。

$$a=-6 b=25$$

将 10x^{2}+19x-15 改写为 \left(10x^{2}-6x\right)+\left(25x-15\right)。

$$\left(10x^{2}-6x\right)+\left(25x-15\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$2x\left(5x-3\right)+5\left(5x-3\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 5x-3。

$$\left(5x-3\right)\left(2x+5\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 5x-3=0 和 2x+5=0。

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$10x^{2}+19x-15=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 10 替换 a，19 替换 b，并用 -15 替换 c。

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

对 19 进行平方运算。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

求 -4 与 10 的乘积。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-40\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

求 -40 与 -15 的乘积。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+600}}{2\times 10}$$

将 600 加上 361。

$$x=\frac{-19±\sqrt{961}}{2\times 10}$$

取 961 的平方根。

$$x=\frac{-19±31}{2\times 10}$$

求 2 与 10 的乘积。

$$x=\frac{-19±31}{20}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-19±31}{20} 的解。 将 31 加上 -19。

$$x=\frac{12}{20}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{12}{20} 降低为最简分数。

$$x=\frac{3}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-19±31}{20} 的解。 将 -19 减去 31。

$$x=-\frac{50}{20}$$

通过求根和消去 10，将分数 \frac{-50}{20} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$10x^{2}+19x-15=0$$

在等式两边同时加 15。

$$10x^{2}+19x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 减去它自己得 0。

$$10x^{2}+19x=-\left(-15\right)$$

将 0 减去 -15。

$$10x^{2}+19x=15$$

两边同时除以 10。

$$\frac{10x^{2}+19x}{10}=\frac{15}{10}$$

除以 10 是乘以 10 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{19}{10}x=\frac{15}{10}$$

通过求根和消去 5，将分数 \frac{15}{10} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{19}{10}x=\frac{3}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{19}{10} 除以 2 得 \frac{19}{20}。然后在等式两边同时加上 \frac{19}{20} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{19}{10}x+\left(\frac{19}{20}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{19}{20}\right)^{2}$$

对 \frac{19}{20} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{19}{10}x+\frac{361}{400}=\frac{3}{2}+\frac{361}{400}$$

将 \frac{361}{400} 加上 \frac{3}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{19}{10}x+\frac{361}{400}=\frac{961}{400}$$

对 x^{2}+\frac{19}{10}x+\frac{361}{400} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{19}{20}\right)^{2}=\frac{961}{400}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{400}}$$

化简。

$$x+\frac{19}{20}=\frac{31}{20} x+\frac{19}{20}=-\frac{31}{20}$$

将等式的两边同时减去 \frac{19}{20}。

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{2}$$