求解 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7.348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7.348469228i$$

运用二次公式的步骤

计算 2 的 10 乘方，得到 100。

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

计算 2 的 8 乘方，得到 64。

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(12-x\right)^{2}。

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

要查找 144-24x+x^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

将 64 减去 144，得到 -80。

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

将方程式两边同时减去 -80。

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

-80 的相反数是 80。

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

将方程式两边同时减去 24x。

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

100 与 80 相加，得到 180。

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

将 x^{2} 添加到两侧。

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

合并 x^{2} 和 x^{2}，得到 2x^{2}。

$$180+2x^{2}-24x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-24x+180=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-24 替换 b，并用 180 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

对 -24 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

求 -8 与 180 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

将 -1440 加上 576。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

取 -864 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

-24 的相反数是 24。

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} 的解。 将 12i\sqrt{6} 加上 24。

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

24+12i\sqrt{6} 除以 4。

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} 的解。 将 24 减去 12i\sqrt{6}。

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

24-12i\sqrt{6} 除以 4。

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

现已求得方程式的解。

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

使用配方法的步骤

计算 2 的 10 乘方，得到 100。

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

计算 2 的 8 乘方，得到 64。

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(12-x\right)^{2}。

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

要查找 144-24x+x^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

将 64 减去 144，得到 -80。

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

将方程式两边同时减去 24x。

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

将 x^{2} 添加到两侧。

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

合并 x^{2} 和 x^{2}，得到 2x^{2}。

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

将方程式两边同时减去 100。

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

将 -80 减去 100，得到 -180。

$$2x^{2}-24x=-180$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

-24 除以 2。

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

-180 除以 2。

$$x^{2}-12x=-90$$

将 x 项的系数 -12 除以 2 得 -6。然后在等式两边同时加上 -6 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

对 -6 进行平方运算。

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

将 36 加上 -90。

$$x^{2}-12x+36=-54$$

因数 x^{2}-12x+36。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

化简。

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

在等式两边同时加 6。

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$