求解 1^3-29lambda^2+47lambda-60=0

$$1 ^ { 3 } - 29 \lambda ^ { 2 } + 47 \lambda - 60 = 0$$

求解 λ 的值

$$\lambda =\frac{-3\sqrt{515}i+47}{58}\approx 0.810344828-1.173807488i$$

$$\lambda =\frac{47+3\sqrt{515}i}{58}\approx 0.810344828+1.173807488i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda -59=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -29 替换 a，47 替换 b，并用 -59 替换 c。

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\left(-29\right)\left(-59\right)}}{2\left(-29\right)}$$

对 47 进行平方运算。

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{2209-4\left(-29\right)\left(-59\right)}}{2\left(-29\right)}$$

求 -4 与 -29 的乘积。

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{2209+116\left(-59\right)}}{2\left(-29\right)}$$

求 116 与 -59 的乘积。

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{2209-6844}}{2\left(-29\right)}$$

将 -6844 加上 2209。

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{-4635}}{2\left(-29\right)}$$

取 -4635 的平方根。

$$\lambda =\frac{-47±3\sqrt{515}i}{2\left(-29\right)}$$

求 2 与 -29 的乘积。

$$\lambda =\frac{-47±3\sqrt{515}i}{-58}$$

现在 ± 为加号时求公式 \lambda =\frac{-47±3\sqrt{515}i}{-58} 的解。 将 3i\sqrt{515} 加上 -47。

$$\lambda =\frac{-47+3\sqrt{515}i}{-58}$$

-47+3i\sqrt{515} 除以 -58。

$$\lambda =\frac{-3\sqrt{515}i+47}{58}$$

现在 ± 为减号时求公式 \lambda =\frac{-47±3\sqrt{515}i}{-58} 的解。 将 -47 减去 3i\sqrt{515}。

$$\lambda =\frac{-3\sqrt{515}i-47}{-58}$$

-47-3i\sqrt{515} 除以 -58。

$$\lambda =\frac{47+3\sqrt{515}i}{58}$$

现已求得方程式的解。

$$\lambda =\frac{-3\sqrt{515}i+47}{58} \lambda =\frac{47+3\sqrt{515}i}{58}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda -59=0$$

在等式两边同时加 59。

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda -59-\left(-59\right)=-\left(-59\right)$$

-59 减去它自己得 0。

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda =-\left(-59\right)$$

将 0 减去 -59。

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda =59$$

两边同时除以 -29。

$$\frac{-29\lambda ^{2}+47\lambda }{-29}=\frac{59}{-29}$$

除以 -29 是乘以 -29 的逆运算。

$$\lambda ^{2}+\frac{47}{-29}\lambda =\frac{59}{-29}$$

47 除以 -29。

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda =\frac{59}{-29}$$

59 除以 -29。

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda =-\frac{59}{29}$$

将 x 项的系数 -\frac{47}{29} 除以 2 得 -\frac{47}{58}。然后在等式两边同时加上 -\frac{47}{58} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda +\left(-\frac{47}{58}\right)^{2}=-\frac{59}{29}+\left(-\frac{47}{58}\right)^{2}$$

对 -\frac{47}{58} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda +\frac{2209}{3364}=-\frac{59}{29}+\frac{2209}{3364}$$

将 \frac{2209}{3364} 加上 -\frac{59}{29}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda +\frac{2209}{3364}=-\frac{4635}{3364}$$

因数 \lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda +\frac{2209}{3364}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(\lambda -\frac{47}{58}\right)^{2}=-\frac{4635}{3364}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(\lambda -\frac{47}{58}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4635}{3364}}$$

化简。

$$\lambda -\frac{47}{58}=\frac{3\sqrt{515}i}{58} \lambda -\frac{47}{58}=-\frac{3\sqrt{515}i}{58}$$

在等式两边同时加 \frac{47}{58}。

$$\lambda =\frac{47+3\sqrt{515}i}{58} \lambda =\frac{-3\sqrt{515}i+47}{58}$$