求解 1+(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)=2^x

$$1 + ( 2 + 1 ) ( 2 ^ { 2 } + 1 ) ( 2 ^ { 4 } + 1 ) ( 2 ^ { 8 } + 1 ) = 2 ^ { x }$$

求解 x 的值

$$x=16$$

运用对数定义的步骤

2 与 1 相加，得到 3。

$$1+3\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$1+3\left(4+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

4 与 1 相加，得到 5。

$$1+3\times 5\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

将 3 与 5 相乘，得到 15。

$$1+15\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

计算 4 的 2 乘方，得到 16。

$$1+15\left(16+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

16 与 1 相加，得到 17。

$$1+15\times 17\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

将 15 与 17 相乘，得到 255。

$$1+255\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

计算 8 的 2 乘方，得到 256。

$$1+255\left(256+1\right)=2^{x}$$

256 与 1 相加，得到 257。

$$1+255\times 257=2^{x}$$

将 255 与 257 相乘，得到 65535。

$$1+65535=2^{x}$$

1 与 65535 相加，得到 65536。

$$65536=2^{x}$$

移项以使所有变量项位于左边。

$$2^{x}=65536$$

对方程两边同时取对数。

$$\log(2^{x})=\log(65536)$$

某个数的幂(即该数的某次方)的对数等于次方数与该数的对数的乘积。

$$x\log(2)=\log(65536)$$

两边同时除以 \log(2)。

$$x=\frac{\log(65536)}{\log(2)}$$

运用换底公式 \frac{\log(a)}{\log(b)}=\log_{b}\left(a\right)。

$$x=\log_{2}\left(65536\right)$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{2\pi n_{1}i}{\ln(2)}+16$$

$$n_{1}\in \mathrm{Z}$$