求解 0.5x+4x^2=26

$$0.5x+4 { x }^{ 2 } =26$$

求解 x 的值

$$x = \frac{3 \sqrt{185} - 1}{16} \approx 2.48777572$$

$$x=\frac{-3\sqrt{185}-1}{16}\approx -2.61277572$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+\frac{1}{2}x=26$$

将等式的两边同时减去 26。

$$4x^{2}+\frac{1}{2}x-26=26-26$$

26 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+\frac{1}{2}x-26=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，\frac{1}{2} 替换 b，并用 -26 替换 c。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\times 4\left(-26\right)}}{2\times 4}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\times 4\left(-26\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-16\left(-26\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -26 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+416}}{2\times 4}$$

将 416 加上 \frac{1}{4}。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1665}{4}}}{2\times 4}$$

取 \frac{1665}{4} 的平方根。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{3\sqrt{185}}{2}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{3\sqrt{185}}{2}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{3\sqrt{185}}{2}}{8} 的解。 将 \frac{3\sqrt{185}}{2} 加上 -\frac{1}{2}。

$$x=\frac{3\sqrt{185}-1}{2\times 8}$$

\frac{-1+3\sqrt{185}}{2} 除以 8。

$$x=\frac{3\sqrt{185}-1}{16}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{3\sqrt{185}}{2}}{8} 的解。 将 -\frac{1}{2} 减去 \frac{3\sqrt{185}}{2}。

$$x=\frac{-3\sqrt{185}-1}{2\times 8}$$

\frac{-1-3\sqrt{185}}{2} 除以 8。

$$x=\frac{-3\sqrt{185}-1}{16}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3\sqrt{185}-1}{16} x=\frac{-3\sqrt{185}-1}{16}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+\frac{1}{2}x=26$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+\frac{1}{2}x}{4}=\frac{26}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{\frac{1}{2}}{4}x=\frac{26}{4}$$

\frac{1}{2} 除以 4。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=\frac{26}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{26}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=\frac{13}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{8} 除以 2 得 \frac{1}{16}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{13}{2}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{16} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{13}{2}+\frac{1}{256}$$

将 \frac{1}{256} 加上 \frac{13}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{1665}{256}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{1665}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1665}{256}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{16}=\frac{3\sqrt{185}}{16} x+\frac{1}{16}=-\frac{3\sqrt{185}}{16}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{16}。

$$x=\frac{3\sqrt{185}-1}{16} x=\frac{-3\sqrt{185}-1}{16}$$