求解 -5x^2+200x+30000=3200

$$-5 { x }^{ 2 } +200x+30000=3200$$

求解 x 的值

$$x=24\sqrt{10}+20\approx 95.894663844$$

$$x=20-24\sqrt{10}\approx -55.894663844$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

将等式的两边同时减去 3200。

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=3200-3200$$

3200 减去它自己得 0。

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=0$$

将 30000 减去 3200。

$$-5x^{2}+200x+26800=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -5 替换 a，200 替换 b，并用 26800 替换 c。

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

对 200 进行平方运算。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

求 -4 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+20\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

求 20 与 26800 的乘积。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+536000}}{2\left(-5\right)}$$

将 536000 加上 40000。

$$x=\frac{-200±\sqrt{576000}}{2\left(-5\right)}$$

取 576000 的平方根。

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{2\left(-5\right)}$$

求 2 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10} 的解。 将 240\sqrt{10} 加上 -200。

$$x=\frac{240\sqrt{10}-200}{-10}$$

-200+240\sqrt{10} 除以 -10。

$$x=20-24\sqrt{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10} 的解。 将 -200 减去 240\sqrt{10}。

$$x=\frac{-240\sqrt{10}-200}{-10}$$

-200-240\sqrt{10} 除以 -10。

$$x=24\sqrt{10}+20$$

现已求得方程式的解。

$$x=20-24\sqrt{10} x=24\sqrt{10}+20$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

将等式的两边同时减去 30000。

$$-5x^{2}+200x+30000-30000=3200-30000$$

30000 减去它自己得 0。

$$-5x^{2}+200x=3200-30000$$

将 3200 减去 30000。

$$-5x^{2}+200x=-26800$$

两边同时除以 -5。

$$\frac{-5x^{2}+200x}{-5}=-\frac{26800}{-5}$$

除以 -5 是乘以 -5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{200}{-5}x=-\frac{26800}{-5}$$

200 除以 -5。

$$x^{2}-40x=-\frac{26800}{-5}$$

-26800 除以 -5。

$$x^{2}-40x=5360$$

将 x 项的系数 -40 除以 2 得 -20。然后在等式两边同时加上 -20 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=5360+\left(-20\right)^{2}$$

对 -20 进行平方运算。

$$x^{2}-40x+400=5360+400$$

将 400 加上 5360。

$$x^{2}-40x+400=5760$$

对 x^{2}-40x+400 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-20\right)^{2}=5760$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{5760}$$

化简。

$$x-20=24\sqrt{10} x-20=-24\sqrt{10}$$

在等式两边同时加 20。

$$x=24\sqrt{10}+20 x=20-24\sqrt{10}$$